Х-уравнение с одной переменной

Х уравнение с одной переменной   При изучении русского языка в школе многие задавались вопросом: почему слово равнина пишется через а, ведь проверочное слово ровный пишется через о? На самом деле ответ прост. Ведь равнина так называется потому,  что все ее точки находятся на равном расстоянии (от уровня моря) и проверочное слово для неё — равно.

 

 

 

Определение: Уравнением с переменной x называется равенство вида A(x)=B(x), где  A(x) и  B(x) — выражения от x. Множество  T значений x  при подстановке которых в уравнение получается истинное числовое равенство, называют множеством истинности данного уравнения или решением данного уравнения, а каждое такое значение переменной — корнем уравнения.

Таким образом становится понятно, что основа любого уравнения это равенство двух его частей. И когда при решении уравнений производятся различные операции над его частями это равенство всегда должно соблюдаться.

Методы решения уравнений с одной переменной

В математике существует огромное количество самых разнообразных видов  уравнений для решения которых используются разные способы. Но для того чтобы легко решать уравнения вам необходимо знать три основных метода:

Тождественное преобразование уравнений

Разложение выражения на множители

Введение новой переменной

Тождественные преобразования уравнений

Наиболее простым и в то же время одним из самых распространенных способов решения уравнений является метод тождественных преобразований. В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными. Рассмотрим основные способы тождественных преобразований алгебраических выражений.

Примеры и формулы тождественных преобразований:

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.Тождественные преобразования уравнений выражений

Пример:  9x2 + 12x + 10 = 15x + 10 → отнимем  десять из обоих частей → 9x2 + 12 = 15x

Второе тождественное преобразование: перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.

Пример: 9x2 + 12 = 15x → перенесем 15х влево → 9x2 + 12 — 15x =0. После упрощения получаем: 9x2  - 3x =0

Третье тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя.

Пример: 9x2  - 3x =0 → разделим обе части уравнения на три3x2 - x =0

Четвертое тождественное преобразование:  можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:

а)  возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;
б)  неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

Пример:     49x2 = 1225 → извлечем корень квадратный из обеих частей → | 7x | = 35

Х1=5

Х2=-5

Разложение выражения на множители

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

разложение выражений на множители

 Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.
Пример : Разложить на множители многочлен х5– 2х32.
Решение: Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель  х2. Вынесем его за скобку и получим ответ:

х5– 2х32 = х23 – 2x + 1).

Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

  1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)2=a2+2ab+b2

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)2=a2-2ab+b2

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a2-b2

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
  5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

  6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Пример: (3х+5)2 =9х2+30х+25=0

Решение: используя формулу (1) 2+30х+25=(3х+5)2

 

Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители, применяемых при сдаче ГИА и ЕГЭ. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.
Пример : Разложить на множители многочлен x4 + 4×2 – 1.
Решение : Имеем х4+4х2−1=х4+22х2+4−4−1=(х2+2)2−5=(х2+2−5)(х2+2−5) .

 

Замена переменной

Для решения уравнения методом введения новой переменной необходимо выполнить  три  следующих операции:

1. В уравнеметод замены переменнойни какая-то его часть заменяется другой переменной (a,y,t,…)
    (прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);
2. Решается новое уравнение;
3. Возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляется требуемое неизвестное.
_
 _
_
Пример: (2x−21)2−5(2x−21)+4=0.
Шаг1
вводим новую переменную y :  2x−21=y
Шаг2
решаем новое уравнение : y2−5y+4=0
У1=1
У2=4
Шаг3
Возвращаемся  к исходному уравнению:
2x−21=1 → х=11
2x−21=4 →12,5

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Обсуждение закрыто.

Яндекс.Метрика