Стереометрия на ЕГЭ.

стереометрия Математика — гимнастика для ума, Стереометрия — витамин для мозга

_

_

_

_

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, пространственный» и μετρέω — «измеряю») — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Вики

Стереометрия вокруг нас: в быту и в профессиональной деятельности. Мы, безусловно, не можем «увидеть» науку, но можем ежедневно лицезреть объемные тела в пространстве, которые она изучает. Например, капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет и маленький теннисный шарик, и более крупные предметы — наша планета и многие другие космические объекты. А консервная банка — это цилиндр.
Разве не интересно рассматривать себя в зеркале со всех сторон? А ведь человеческая фигура — это тоже объемный предмет.

Для начала посмотрим на это с точки зрения психологии. С самого рождения и до 2 лет, ребенок не может воспринимать предметы объемные, а видит только одну сторону, несмотря на то, что мы живем в трехмерном пространстве. Если от ребенка спрятать игрушку, он будет считать, что она пропала. Поэтому, когда мама уходит, дети начинают искать ее и пугаться, что она исчезла. Сами они не могут догадаться, что игрушка под подушкой, а мама просто вышла за дверь.

Психологами был проведен опыт. На стол поставили макет горы, задачей детей было нарисовать ее с той стороны, с которой они ее видят. С этим заданием все справились великолепно, но, когда их попросили нарисовать гору со стороны соседа, они нарисовали то же самое, что и в первый раз. Отсюда вывод — наше подсознание, наш мозг не способны воспринимать вещи в полном объеме до определенного возраста, вот почему стереометрия преподается в старших классах

Аксиомы стереометрии

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое в основе доказательства других ее положений

Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и так, как в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением «на» или «в заданной плоскости» и 3-х дополнительных аксиом. Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ.

 

первая аксиома стереометрии

                  Через любые три точки, не лежащие  на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

 

первая аксиома стереометрии

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

 

первая аксиома стереометрии

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей

 

первая аксиома стереометрии

 

Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на всех плоскостях, содержащих эти точки

 Основные теоремы стереометрии

Теоре́ма (др.-греч.θεώρημα — «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство

 

первая аксиома стереометрии

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, па­раллельная данной, и притом только одна

 

первая аксиома стереометрии

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость

 

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны

первая аксиома стереометрии

Векторы в стереометрии

Векторное решение многих стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии («чисто геометрически»). Причина этого «упрощения» заключается в том, что при векторном методе решения можно обойтись без тех дополнительных построений, которые следует выполнять (аргументированно!) при «чисто геометрическом» решении даже простых задач.

Вместе с тем, чтобы векторы стали аппаратом решения геометрических задач, необходимо уметь переводить условие геометрической задачи в векторную терминологию и символику (на «векторный язык»), затем выполнять соответствующие алгебраические операции над векторами и, наконец, полученный в векторной форме результат переводить «обратно», на «геометрический язык».

Знание условий коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов позволяет в векторной форме решать аффинные задачи стереометрии — задачи, в которых изучаются вопросы взаимного расположения прямых и плоскостей. Свойства скалярного произведения двух векторов, условия перпендикулярности двух векторов позволяют легко перевести в векторную форму отношения перпендикулярности прямых и плоскостей и с помощью векторов решать метрические задачи — задачи, в которых находят расстояния, углы, площади, объемы геометрических фигур.

Одним словом, векторы — мощный аппарат решения стереометрических задач

первая аксиома стереометрии

Компланарными векторами называют вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости

 

первая аксиома стереометрии

Коллинеарными векторами называют вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой

 

Стереометрия на ЕГЭ

И вот наконец то мы добрались до самого главного вопроса, который возникает при изучении стереометрии: как решать задачи по стереометрии на ЕГЭ?

Как правило задание заключается в  поиске углов между прямыми, плоскостями, или между прямой и плоскостью. Или поиск синуса, косинуса или тангенса этого угла. Часто в этом задании просят найти расстояние между точками, прямыми, или прямой и плоскостью.
Существует три основных метода решения задач C2 из ЕГЭ по математике. Условно назовем их «методом построений», «векторным методом» и «методом объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше знать и уметь использовать все три.
Наиболее универсальным является «метод построений», с его помощью можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике.
Обычно это поиск углов между прямыми, плоскостями, или между прямой и плоскостью. Или поиск синуса, косинуса или тангенса этого угла. Зачастую в этом задании просят найти расстояние между точками, прямыми, или прямой и плоскостью.Читать далее: http://4ege.ru/video-matematika/4606-stereometriya-klassicheskiy-metod-s2.html
Обычно это поиск углов между прямыми, плоскостями, или между прямой и плоскостью. Или поиск синуса, косинуса или тангенса этого угла. Зачастую в этом задании просят найти расстояние между точками, прямыми, или прямой и плоскостью.Читать далее: http://4ege.ru/video-matematika/4606-stereometriya-klassicheskiy-metod-s2.html
Обычно это поиск углов между прямыми, плоскостями, или между прямой и плоскостью. Или поиск синуса, косинуса или тангенса этого угла. Зачастую в этом задании просят найти расстояние между точками, прямыми, или прямой и плоскостьюЧитать далее: http://4ege.ru/video-matematika/4606-stereometriya-klassicheskiy-metod-s2.html
Обычно это поиск углов между прямыми, плоскостями, или между прямой и плоскостью. Или поиск синуса, косинуса или тангенса этого угла. Зачастую в этом задании просят найти расстояние между точками, прямыми, или прямой и плоскостьюЧитать далее: http://4ege.ru/video-matematika/4606-stereometriya-klassicheskiy-metod-s2.html

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Обсуждение закрыто.

Яндекс.Метрика