Примеры комплексных чисел

Комплексные числа на примерах

 

 

    Вопрос-Ответник

  В: — Что такое комплексная работа?

О: — Это работа состоящая из действительной работы и мнимой зарплаты

 

 

В предыдущей статье мы ввели определение комплексного числа. Мы узнали какие числа называются комплексными и рассмотрели некоторые их особенности. Сейчас же мы разберем наиболее часто встречающиеся при изучении комплексных чисел вопросы и рассмотрим их на конкретных примерах.

Комплексные числа на примерах


Вопрос-ответ:

В: Какие числа называются комплексными?
О: Комплексными числами называются числа вида  a+bi, где a и b — вещественные числа,  i — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: i² = − 1.

В: Какие существуют формы представления комплексных чисел?
О:Комплексные числа могут быть записаны в алгебраической, геометрической и показательной форме.

В: Является ли 1 комплексным числом?
О: Действительно, согласно определению единицу можно считать комплексным числом, у которого мнимая часть равна нулю, а действительная − одному. z= 1+0·i

В: Как возвести комплексное число в степень?
О:Для возведения в степень комплексного числа в алгебраической форме используются формулы сокращенного умножения, применяемые для многочленов.

Пример: (a+bi)² =a² +2abi +(bi)²

(5+7i)² =25+2·5·7·i+49·(-1) =-24+70i

Для возведения в степень больше третей применяют тригонометрическую форму записи комплексных чисел и используют теорему Муара.

В: Как выполняется умножение комплексных чисел?
О: В алгебраической форме умножение комплексных чисел производится по правилу умножения двучленов, при этом i² заменяют на -1. Для умножение в тригонометрическом виде применяется формула z1·z2= |z1| · |z2| · (cos(φ1+φ2) +i·sin(φ1+φ2)(

В: Можно ли извлечь квадратный корень их комплексного числа?
О: Можно. Для того, чтобы извлечь квадратный корень из комплексного числа необходимо определить его модуль |z| и аргумент  φ.

√z=√|z| ·(cos(φ/2+πk)+ i·sin(φ/2+πk))

В: Приведите пример использования формулы Муавра для комплексного числа?
О: Формула Муавра применяется для возведения комплексных чисел в любую степень. Согласно этой формуле необходимо модуль числа возвести в нужную степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Формула Муавра при z=ρ(cosφ+isinφ),

znn(cos(nφ)+isin(nφ))

Пример использования формулы Муавра:

z=4·(cos(π/6)+i ·sin(π/6))

z³= 4³ · (cos(3π/6)+i·sin(3π/6))= 64·((cos(π/2)+i·sin(π/2))=64i

В: Что такое мнимая часть комплексного числа?
О:  Комплексные числа – это числа вида z=x+iy, где x, y – действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению i²=-1.
Число x называется действительной частью комплексного числа z и имеет обозначение x = Im z.
Число y называется мнимой частью комплексного числа z и имеет обозначение y = Re z.  .

В: Что такое аргумент комплексного числа?
О: Простым языком: аргумент комплексного числа это угол между вектором, изображающим комплексное число и осью Х .

В: Что такое модуль комплексного числа?
О: Простым языком: модуль комплексного числа равен длине вектора, изображающего комплексное число .

Вообще говоря, комплексные числа —  достаточно абстрактное понятие . Основная причина появления в математике  комплексных чисел заключалась в необходимости вычисления корней кубических уравнений. Так, в 1545 году, когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел. Он предположил, что система уравнений, не имеющая решений в области действительных чисел, вполне может иметь решением числа новой природы. Только нужно было условиться как всем действовать над такими числами. Но даже сам Кордано считал эти числа бесполезными и всячески старался их не использовать.
В 1552 году история возникновения комплексных чисел получила свой новый виток. Итальянский математик Рафаэль Бомбелли в своей книге установил первые правила арифметических операций над такими числами.комплексное число в графическом фиде

Сам термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. История возникновения комплексных чисел после этого начала набирать свои обороты. Многие математики признали и стали изучать их. И на самом деле, с комплексными числами можно совершать гораздо больше математических действий и применять их гораздо чаще, чем мы думаем. Существует теория, что отличие мнимой части от действительной заключается в том, что действительные числа отражают процессы в пространственно-временных координатах, а мнимые — в частотных.

Наглядно понятие комплексного числа можно представить себе в виде вектора в прямоугольной системе координат. Если на плоскости выбрать направление, принять О за начальную точку и  провести произвольный вектор, то длина этого вектора будет соответствовать модулю комплексного числа,а угол между осью х и этим вектором —  аргументу.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Обсуждение закрыто.

Яндекс.Метрика