Какие числа называются действительными?

Какие числа называются действительными?

 

В тринадцатое число ему не везло.
Не везло и во все остальные числа.

 

 

 

__Большие и маленькие, длинные и короткие, целые и дробные, рациональные и не очень — все они составляют одно огромное множество — множество действительных чисел. 1 и 100, два и корень из двух, 1.618, 3.14, -12 и даже +100500 – все это действительные числа.

__Давайте же строго научно определим, какие числа называются действительными, а также попытаемся ответить на следующие часто встречающиеся вопросы:

  • является ли ноль действительным числом?
  • что такое целая часть действительного числа?
  • какими свойствами обладает модуль действительного числа?

__На самом деле эти вопросы не такие уж сложные, как может показаться на первый взгляд. Для начала определимся с самим понятием действительного числа.

Определение действительного числа

Определение1:  Действительное число (также его часто называют вещественным ) — это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Определение2: Множеством действительных чисел называют объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

 Строго Научное Определение:

Положительным действительным (вещественным) числом «α» называют бесконечную десятичную дробь N, n1 n2… nk,… не оканчивающуюся последовательностью девяток.

Отрицательным действительным числом (вещественным) называют бесконечную десятичную дробь вида «α» = — N, n1 n2… nk. . . не оканчивающуюся последовательностью девяток.

__Добавив к отрицательным и положительным действительным числам число 0 получим полное множество действительных чисел. Обратите внимание на нюанс, указанный в Строго Научном Определении. Все дело в том, что любую конечную десятичную дробь N, n1 n2… nk можно записать в виде бесконечной десятичной дроби N, n1 n2… nk 0000… оканчивающейся «хвостом» из нулей. Например:

 1,1=1,1000…000….

При этом дроби 1,1 соответствует последовательность пар десятичных приближений :

(1,1; 1,2) , (1,10; 1,11) , (1,100; 1,101) и т. д. Заметьте, все приближения по недостатку для этой дроби одинаковы 1,1=1,10=1,100=…

Рассмотрим теперь бесконечную десятичную дробь 1,09999…. Для неё последовательность пар десятичных приближений имеет вид (1,09; 1,10), (1,099; 1,100) и т. д.

В этом случае совпадают все десятичные приближения по избытку: 1,10=1,100=…

__Обратите внимание, приближения по недостатку для первой дроби совпадают с приближениями по избытку для дроби второй. Таким образом обе дроби геометрически выражают одну и ту же длину. Именно поэтому, (для того чтобы не обозначать одно и то же число двумя способами ) условились не использовать бесконечных десятичных дробей, оканчивающихся бесконечной последовательностью девяток. Такие дроби всегда можно заменить конечной десятичной дробью, поставив вместо девяток нули и увеличив на 1 цифру, стоящую перед ними. Например :

 4,4749999…99..=4,475000…0..

 99,999999999…=100,00000000…

 Еще один нюанс: последовательность из девяток должна быть именно бесконечной,

 99,999 ≠ 100.

Давайте подведем итог.

  • Действительным ( иногда его называют вещественным) числом называется любое целое число, а также все конечные и бесконечные дроби.
  • Дроби, оканчивающиеся бесконечной последовательностью девяток для удобства использования округляют в большую сторону.
  • Различают положительные действительные числа, отрицательные действительные числа и ноль.
  • Множество действительных чисел разделяется на множества рациональных и иррациональных чисел.

__Надеюсь вы разобрались с понятием действительного числа и со всеми теми особенностями, которые присущи таким числам. Если же вам по прежнему что-то непонятно — добро пожаловать в Вопрос-Ответник.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Обсуждение закрыто.

Яндекс.Метрика