Архив рубрики ‘Алгебра’

Функция функции.

<< Ты кто?

  Я — Аня. Я же Аня.

  Это не ответ. Какая у тебя функция?

  А у вас какая?

         Я — жена шута.>>
                       Ольга Лукас. Аня и ее куклы

Функция (от латинского functio — исполнение, осуществление), 1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого-либо объекта в данной системе отношений (например, функция органов чувств, функция денег). 2) Функция в социологии — роль, которую выполняет определенный социальный институт или процесс по отношению к целому (например, функция государства, семьи и т. д. в обществе).3) Функция в математике — соответствие между переменными величинами, в силу которого каждому значению одной величины x (независимого переменного, аргумента) соответствует определенное значение другой величины y (зависимого переменного, функции). Функции могут быть заданы, например, формулой, графиком, таблицей, правилом.

Давайте же определим, какую деятельность выполняет  функция, каково ее назначение и роль в математическом мире. Для этого обратимся ко всеми любимому определению :-) из школьного учебника по математике.

Определение 1. Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число y, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью определения X. Пишут: у = f(x), х∈ X. Для области определения функции используют обозначение D(f). Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Множество всех значений функции у = f(x), х ∈ X называют областью значений функции и обозначают E(f).

Если f(x) — алгебраическое выражение и область X определения функции у = f(x) совпадает с областью определения этого выражения (такую область определения называют естественной), то вместо записи у = f(x), х ∈ X используют более короткую запись у = f(x).

 

Определение 2. Если дана функция у = f(x), х ∈ X и на координатной плоскости хОу отмечены все точки вида (х; у), где х ∈ Х a y = f(x), то множество этих точек называют графиком функции у = f(x), x ∈ X

Те, кто без проблем понял смысл этого определения, могут смело продолжать обучение, и даже испытать свои силы  здесь.

А те же , кто в танке, у кого определение функции вызывает некоторые затруднения , могут разобраться с возникшими трудностями тут.

 

 

 

Приращение есть!!!

Определение : Пусть функция у = f(x) определена в точках х0 и х1. Разность х1 — х0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к x1), а разность f(х1) — f(x0) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают ΔX ( дельта икс, Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают  ΔY или  Δf.

Итак, x1 — x0 =  Δх, значит, х1 = х0+ Δx.  f(x 1) — f(xо) =  Δу (или  Δf), значит,

Δy = f(x0 + Δx) — f(x0).

Вам все понятно?

Если вы ответили «да» ,то можете считать,что вы достаточно хорошо разбираетесь в математике. Честно. У меня это определение вызывает скрежет в зубах и абсолютную пустоту в голове. Не намного лучше и другие определения. Так,  любимая всеми педевикия утверждает,что

Приращение функции f(x) в точке x_0 — функция обычно обозначаемая Delta_{x_0}f от новой переменной Delta_{x_0} x=x-x_0 определяемая как

Delta_{x_0}f(Delta_{x_0} x)=f(x)-f(x_0).

Переменная Delta_{x_0} x=x-x_0 называется приращением аргумента.

В случае когда ясно о каком значении x_0 идёт речь, применяется более короткая запись.

Delta f(Delta x)=Delta_{x_0}f(Delta_{x_0} x).
Ну теперь то уж точно всем все ясно. Чего ж тут может быть непонятного. :-) :-) :-)
                                                  <<Кто ясно мыслит — ясно излагает>>
                                                                                                                древняя мудрость
Ok, давайте же попробуем внести ясность в этот вопрос. Попробуем перевести эти определения на простой, понятный обычному человеку язык.
Основная проблема заключается в том, что человеку трудно представить себе абстрактное понятие, то, чего он никогда не видел. Поэтому для начала изобразим приращение в простом и понятном графическом виде:

 

Приращение функции и приращение аргумента

Таким образом все эти непонятные иксы, игреки и дельты становятся вполне конкретными точками на плоскости. И мы понимаем,что фраза из определения приращения «Разность х1 — х0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к x1), а разность f(х1) — f(x0) называют приращением функции»  имеет вполне определенный смысл.

Из графика видно, что приращение аргумента это  всего лишь разность между двумя числами, одно из которых соответствует х1  ,а другое x0 . А численно приращение аргумента равно длине отрезка   Δx.

И, соответственно, приращение функции это разность между двумя числами, одно из которых соответствует y1  ,а другое y0 . А численно приращение функции равно длине отрезка   Δy.

Надеюсь, что этот обзор помог вам разобраться с такими непонятными определениями, как приращение функции и приращение аргумента. Для тех же, кто по прежнему ничего не понял, я советую разобраться с такими базовыми понятиями, как функция и аргумент функции.

Яндекс.Метрика