Архив рубрики ‘Алгебра’

Композиция функций

Сопряжение движений
Функция наоборот;
Композиция позиций
Словоблудный рифмоплет.

Состояние души утром 1 января

 Что же такое Композиция Функций?

«Композиция» — (от лат. compositio — составление — связывание) объединение, составление, сопоставление, расположение, сложение, соединение частей в единое целое в определенном порядке.

Толковый словарь здравого смысла

В математике композиция функций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

 


Пусть даны числовые функции f(x) и g(x), такие, что E(f) ⊂ UD(g). Читать далее »

Примеры операций над функциями

Прочитав определение определение суммы функций, мы задаем себе вполне логичный вопрос:  «А что все это значит?» Давайте же разберемся, как будет выглядеть сложение функций на практике.

Пример:

Пусть у нас есть функция f(x) = 1 + √x — 2  и функция g(x) = x — 1
Тогда их сумма определяется как
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (1 + √x — 2) + (x — 1) = x + √x — 2

Как видите, здесь нет ничего сложно. Основные проблемы начинаются при нахождении область определения результирующей функции. Говоря простым языком, область определения суммы функций является пересечением (общей частью) областей определения исходных функций.

Для нашего примера:

Функция Область
f(x) = 1 + √x — 2 [2; +∞)
g(x) = x — 1 (-∞ +∞)
(f + g)(x) = x + √x — 2 [2; ∞)∩(-∞ +∞) = [2; ∞)

Рассмотрим более сложный вариант.

Возьмем две функции
f(x) = 3√x и g(x) = √x
Тогда их произведение определяется как
(f*g)(x) = f(x).g(x) = (3√x)(√x) = 3x

Казалось бы, для области определения результирующей функции  (f*g)(x)  = 3x нет нет никаких ограничений, но

Функция Область
f(x) = 3√x [0; +∞)
g(x) = √x [0; +∞)
(f.g)(x) = 3x, x ≥ 0 [0; +∞) ∩ [0; +∞) = [0; +∞)

 

И напоследок самое простое , давайте расшифруем строку из определения деления функций:

(f/g)(x)=f(x)/g(x),    D(fg)=D(f)∩D(g)∖Mg, Mg={x∈D(g):g(x)=0}.

Включаем переводчик….

Translate: Для f/g, область определения  есть пересечение областей определения функций f и g кроме точек, где g(x) = 0

f(x)=x+100500

g(x)=x*√2+x, тогда

g(x)=0 при x=-2 и x=0

Функция Область
f(x) = x+100500 (-∞ +∞)
g(x) = x*√2+x [-2; +∞)
(f/g)(x) = (x+100500)/(x*√2+x),  (-2; 0) ∩ (0; +∞)

 

Операции над функциями

— Предположим, что у вас в кармане два яблока. Некто взял у вас одно яблоко. Сколько у вас осталось яблок?
— Два.
— Подумайте хорошенько.
Буратино сморщился, — так здорово подумал.
— Два…
— Почему?
— Я же не отдам Некту яблоко, хоть он дерись!

к/ф «Золотой ключик, или приключения Буратино»

Всем нам хорошо известны основные арифметические операции : сложение, вычитание, умножение и деление. Сначала мы складывали и вычитали яблоки. Потом целые числа. Затем перешли к изучению операций над числами дробными. И вот наконец то пришла очередь операций над функциями. Да да, не удивляйтесь,  функции, как и обычные числа можно складывать и вычитать, умножать и делить.



 

Определение: Суммой функций f(x) и g(x) называется функция (f+g)(x), которая для каждого x из множества X принимает значение f(x)+g(x).

(f+g)(x)=f(x)+g(x),

D(f+g)=D(f)∩D(g).

Аналогично определяется произведение функций:

(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x),

D(f⋅g)=D(f)∩D(g).

Разность функций:

(f−g)(x)=f(x)−g(x),

D(f−g)=D(f)∩D(g).

Частное функций:

(f/g)(x)=f(x)/g(x),

D(fg)=D(f)∩D(g)∖Mg, Mg={x∈D(g):g(x)=0}.

Разумеется определения операций над функциями как всегда просты и понятны :-) , но если они вызывают у вас некоторое смущение ;-) , то вы можете обратиться к примерам.

 

Яндекс.Метрика