Архив рубрики ‘Алгебра’

Х-уравнение с одной переменной

Х уравнение с одной переменной   При изучении русского языка в школе многие задавались вопросом: почему слово равнина пишется через а, ведь проверочное слово ровный пишется через о? На самом деле ответ прост. Ведь равнина так называется потому,  что все ее точки находятся на равном расстоянии (от уровня моря) и проверочное слово для неё — равно.

 

 

 

Определение: Уравнением с переменной x называется равенство вида A(x)=B(x), где  A(x) и  B(x) — выражения от x. Множество  T значений x  при подстановке которых в уравнение получается истинное числовое равенство, называют множеством истинности данного уравнения или решением данного уравнения, а каждое такое значение переменной — корнем уравнения.

Читать далее »

Степени с натуральными показателями и их свойства.

свойства степени

 Прибавь два нуля к своему размеру обуви, вычти из полученного результата свой год рождения, прибавь к полученному числу текущий год… Последние две цифры — твой возраст!

_

 _

  _

Для начала давайте вспомним, что же такое степень числа и что такое основание и показатель степени.

Определение 1 (очень умное определение): Пусть даны числа a и  n,  a∈R и n∈N. Из свойства  сочетательности умножения на множестве R следует, что при любой расстановке скобок в выражении a·a·…·a (n множителей) получается один и тот же результат. Его обозначают an и называют n-й степенью числа а. Число a называют основанием степени, число n — показателем степени.

Определение 2 (классическое): Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Определение 3 (простое и понятное): Для возведения числа а в степень n надо это самое число а умножить само на себя n раз.

Свойства степени

 

Из определения степени мы можем получить её базовые свойства:

основные свойства степеней

  • a1
  • 0n =0
  • 1n =1

Помимо этого, операция возведения числа в степень с натуральным показателем обладает следующими свойствами:
1)Степень произведения равна произведению степеней. Если a и b — любые числа и n∈N, то:

степень произведения

 

(a·b)n=an·bn

2) Степень частного равна частному степеней . Для любых a, b где  b≠0 и любого n∈N :

степень частного

(a/b)n = an/bn

 

3)При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным:

произведение степеней

am·an=am+n

4)При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным.

частное степеней

am/an=am-n

Здесь есть несколько нюансов:

  • данное выражение справедливо при a≠0 (делить на ноль нельзя);
  • численно m>n; если m<n то am/an=1/(an-m)
  • при m=n выражение равно 1.

 

5) При возведении степени в степень показатели перемножаются

степень  в степени

(am)n=am·n

 

 

Так же кроме свойств, связанных с алгебраическими действиями над степенями,  существуют свойства для сравнения степеней.

6)Если a>0 , то при любом натуральном числе n имеем an>0 . Если же a<0 ,то an>0 при четном n и an<0 при нечетном n.
7)Если 0 <a<b, то для любого n∈N имеем an <bn.
8)Если a>0, b>0 и an =bn то a=b.

Примеры действительных чисел

Вопросы про действительные числа

 Вопрос-Ответник

В:  — Что будет, если скрестить Кенгуру и Слона?
О:  — Большие ямы по всей Австралии…

 _

_

В предыдущей статье мы ввели определение действительного числа. Мы узнали какие числа называются действительными рассмотрели некоторые их особенности. Сейчас же мы разберем наиболее часто встречающиеся при изучении действительных чисел вопросы и рассмотрим их на конкретных примерах. Читать далее »

Яндекс.Метрика