Архив рубрики ‘Алгебра’

Примеры операций над функциями

Прочитав определение определение суммы функций, мы задаем себе вполне логичный вопрос:  «А что все это значит?» Давайте же разберемся, как будет выглядеть сложение функций на практике.

Пример:

Пусть у нас есть функция f(x) = 1 + √x — 2  и функция g(x) = x — 1
Тогда их сумма определяется как
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (1 + √x — 2) + (x — 1) = x + √x — 2

Как видите, здесь нет ничего сложно. Основные проблемы начинаются при нахождении область определения результирующей функции. Говоря простым языком, область определения суммы функций является пересечением (общей частью) областей определения исходных функций.

Для нашего примера:

Функция Область
f(x) = 1 + √x — 2 [2; +∞)
g(x) = x — 1 (-∞ +∞)
(f + g)(x) = x + √x — 2 [2; ∞)∩(-∞ +∞) = [2; ∞)

Рассмотрим более сложный вариант.

Возьмем две функции
f(x) = 3√x и g(x) = √x
Тогда их произведение определяется как
(f*g)(x) = f(x).g(x) = (3√x)(√x) = 3x

Казалось бы, для области определения результирующей функции  (f*g)(x)  = 3x нет нет никаких ограничений, но

Функция Область
f(x) = 3√x [0; +∞)
g(x) = √x [0; +∞)
(f.g)(x) = 3x, x ≥ 0 [0; +∞) ∩ [0; +∞) = [0; +∞)

 

И напоследок самое простое , давайте расшифруем строку из определения деления функций:

(f/g)(x)=f(x)/g(x),    D(fg)=D(f)∩D(g)∖Mg, Mg={x∈D(g):g(x)=0}.

Включаем переводчик….

Translate: Для f/g, область определения  есть пересечение областей определения функций f и g кроме точек, где g(x) = 0

f(x)=x+100500

g(x)=x*√2+x, тогда

g(x)=0 при x=-2 и x=0

Функция Область
f(x) = x+100500 (-∞ +∞)
g(x) = x*√2+x [-2; +∞)
(f/g)(x) = (x+100500)/(x*√2+x),  (-2; 0) ∩ (0; +∞)

 

Операции над функциями

— Предположим, что у вас в кармане два яблока. Некто взял у вас одно яблоко. Сколько у вас осталось яблок?
— Два.
— Подумайте хорошенько.
Буратино сморщился, — так здорово подумал.
— Два…
— Почему?
— Я же не отдам Некту яблоко, хоть он дерись!

к/ф «Золотой ключик, или приключения Буратино»

Всем нам хорошо известны основные арифметические операции : сложение, вычитание, умножение и деление. Сначала мы складывали и вычитали яблоки. Потом целые числа. Затем перешли к изучению операций над числами дробными. И вот наконец то пришла очередь операций над функциями. Да да, не удивляйтесь,  функции, как и обычные числа можно складывать и вычитать, умножать и делить.


 

Определение: Суммой функций f(x) и g(x) называется функция (f+g)(x), которая для каждого x из множества X принимает значение f(x)+g(x).

(f+g)(x)=f(x)+g(x),

D(f+g)=D(f)∩D(g).

Аналогично определяется произведение функций:

(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x),

D(f⋅g)=D(f)∩D(g).

Разность функций:

(f−g)(x)=f(x)−g(x),

D(f−g)=D(f)∩D(g).

Частное функций:

(f/g)(x)=f(x)/g(x),

D(fg)=D(f)∩D(g)∖Mg, Mg={x∈D(g):g(x)=0}.

Разумеется определения операций над функциями как всегда просты и понятны :-) , но если они вызывают у вас некоторое смущение ;-) , то вы можете обратиться к примерам.

 

Функция f

Почему f, спросите вы. Почему не  q и не j.  На самом деле здесь все просто. Дело в том, что это сокращение от латинского слова functio(исполнение, осуществление). Таков стандарт, но если вам сильно захотелось можете использовать абсолютно любой символ, хоть Ü. Смысл от этого не поменяется.

Ok, давайте же разбираться со смыслом, который вкладывается в определение функции. Для начала стоит отметить, что для правильного понимания определения функции следует учитывать каждое слово, нельзя произвольно сокращать определение или самовольно добавлять в него что либо. Не зря учителя требуют дословного запоминания.

Приступим:

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число y, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью определения X.

Если даны числовое множество X  — здесь важно отметить, что для определения функции может быть использовано как абсолютно любое число (в этом случае говорят, что определения функции от -∞ до +∞), так и какой то определенный диапазон значений (например от 0 до +100500).

… и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число

здесь важно то, что для каждого икса (из тех что мы определили выше) задается определенное (одно единственное, конкретное) значение игрек. Причем y выбирается не абы как, а по определенному правилу (закону, формуле).

Например

y=√x

y=5x2+7x+2

Также возможен вариант, когда функция принимает разные значения для разных областей определения:

 

 

Таким образом функция f состоит из трех различных функций, каждая из которых задана на своем определенном участке. Такие функции называют кусочными. Для того чтобы вычислить значение кусочной функции в заданной точке,необходимо, во-первых, определить, какой составляющей области определения принадлежит эта точка, а, во-вторых, найти значение входящей функции на этой составляющей.

Оба выше рассмотренных варианта относятся к аналитическим способам задания функции (значение y определяется по формуле или нескольким формулам).

Помимо этого существуют табличный способ задания функции — при этом  составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Пример:

и графический способ задания функции — состоит в построении линии (графика) в разных системах координат, например в Декартовой – абсциссы (по горизонтали) изображают значения аргумента х , а ординаты (по вертикали) — соответствующие значения функции у.

Пример:

 

параболаГрафик функции

Надеюсь вы разобрались с таким важным математическим понятием как функция f и в дальнейшем сможете без проблем находить значения и строить графики абсолютно любой функции.

 

 

Яндекс.Метрика