Архив рубрики ‘Алгебра’

Степени с натуральными показателями и их свойства.

свойства степени

 Прибавь два нуля к своему размеру обуви, вычти из полученного результата свой год рождения, прибавь к полученному числу текущий год… Последние две цифры — твой возраст!

_

 _

  _

Для начала давайте вспомним, что же такое степень числа и что такое основание и показатель степени.

Определение 1 (очень умное определение): Пусть даны числа a и  n,  a∈R и n∈N. Из свойства  сочетательности умножения на множестве R следует, что при любой расстановке скобок в выражении a·a·…·a (n множителей) получается один и тот же результат. Его обозначают an и называют n-й степенью числа а. Число a называют основанием степени, число n — показателем степени.

Определение 2 (классическое): Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Определение 3 (простое и понятное): Для возведения числа а в степень n надо это самое число а умножить само на себя n раз.

Свойства степени

 

Из определения степени мы можем получить её базовые свойства:

основные свойства степеней

  • a1
  • 0n =0
  • 1n =1

Помимо этого, операция возведения числа в степень с натуральным показателем обладает следующими свойствами:
1)Степень произведения равна произведению степеней. Если a и b — любые числа и n∈N, то:

степень произведения

 

(a·b)n=an·bn

2) Степень частного равна частному степеней . Для любых a, b где  b≠0 и любого n∈N :

степень частного

(a/b)n = an/bn

 

3)При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным:

произведение степеней

am·an=am+n

4)При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным.

частное степеней

am/an=am-n

Здесь есть несколько нюансов:

  • данное выражение справедливо при a≠0 (делить на ноль нельзя);
  • численно m>n; если m<n то am/an=1/(an-m)
  • при m=n выражение равно 1.

 

5) При возведении степени в степень показатели перемножаются

степень  в степени

(am)n=am·n

 

 

Так же кроме свойств, связанных с алгебраическими действиями над степенями,  существуют свойства для сравнения степеней.

6)Если a>0 , то при любом натуральном числе n имеем an>0 . Если же a<0 ,то an>0 при четном n и an<0 при нечетном n.
7)Если 0 <a<b, то для любого n∈N имеем an <bn.
8)Если a>0, b>0 и an =bn то a=b.

Примеры действительных чисел

Вопросы про действительные числа

 Вопрос-Ответник

В:  — Что будет, если скрестить Кенгуру и Слона?
О:  — Большие ямы по всей Австралии…

 _

_

В предыдущей статье мы ввели определение действительного числа. Мы узнали какие числа называются действительными рассмотрели некоторые их особенности. Сейчас же мы разберем наиболее часто встречающиеся при изучении действительных чисел вопросы и рассмотрим их на конкретных примерах. Читать далее »

Какие числа называются действительными?

Какие числа называются действительными?

 

В тринадцатое число ему не везло.
Не везло и во все остальные числа.

 

 

 

__Большие и маленькие, длинные и короткие, целые и дробные, рациональные и не очень — все они составляют одно огромное множество — множество действительных чисел. 1 и 100, два и корень из двух, 1.618, 3.14, -12 и даже +100500 – все это действительные числа.

__Давайте же строго научно определим, какие числа называются действительными, а также попытаемся ответить на следующие часто встречающиеся вопросы: Читать далее »

Яндекс.Метрика