Преобразование функций

gomer    

    Преобразование -  замена одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам.

 Большой Энциклопедический словарь

Рассмотрим один из частных случаев преобразований — преобразование функций. Наиболее простым способом оценить результат преобразования функции является преобразование графика функции. При этом мы можем увидеть, что у нас было до, и что получилось в результате преобразования функции.

Преобразование

Для удобства начнем с простейших видов преобразований, таких как параллельный перенос, симметричное отражение, сжатие и растяжение.

При параллельном переносе происходит сдвиг (перемещение)  графика функции на некоторое расстояние по вертикали или горизонтали. При это все точки, входящие в график функции перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Сдвиг по горизонтали называют параллельным переносом графика вдоль оси абсцисс. Алгебраически выражается формулой: y = f(x + a) (при переносе влево a<0)
Сдвиг по вертикали называют параллельным переносом графика вдоль оси ординат. Алгебраически выражается формулой: y = f(x) + b (при переносе вниз b<0)

Параллельный перенос

В примере, рассмотренном выше мы произвели преобразование чемодана с миллионом долларов, используя одновременно параллельный перенос как по оси абсцисс, так и по оси ординат.

 

Отражение графика функции алгебраически выражается также двумя простыми формулами:

y=f(-x) — симметричное отражение графика относительно оси ординат;
y=-f(x) — симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Также возможно симметричное отражение графика функции относительно какой либо точки. Так, например симметричными относительно начала координат являются графики функций y  =  f  ( x ) и    y  = – f  (– x ).

Более сложным является вопрос о симметрии графиков относительно произвольных вертикальных и горизонтальных осей. В этом случае справедливы следующие утверждения:

Графики функций y  =  f  ( x ) и y  = 2 b  –  f  ( x ) симметричны относительно горизонтальной оси y  =  b .
Графики функций y  =  f  ( x ) и y  =  f  (2 a  –  x ) симметричны относительно вертикальной оси x  =  a .

      Наконец, отражение графика относительно произвольной точки ( a b ) задается сначала отражением относительно горизонтальной оси y  =  b , затем отражением относительно вертикальной оси x  =  a :
Графики функций y  =  f  ( x ) и y  = 2 b  –  f  (2 a  –  x ) симметричны относительно точки ( a b ).

Давайте отразим наш чемодан с долларами относительно точки О(0;0)

Симметричное отражение

 

 

Ну и напоследок рассмотрим деформации графиков функций, такие как растяжение и сжатие, которые иначе называются масштабированием.

Формула у = k f(х), k>0 описывает растяжение графика функции вдоль оси ОУ от оси ОХ в k раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз вдоль оси ОУ к оси ОХ, если 0< k< 1.

Формула у = f(kх), k>0 описывает сжатие графика функции вдоль оси ОХ к оси ОУ в k раз, если k>1, и растяжение в 1/k раз вдоль оси ОХ от оси ОУ, если 0< k< 1.

А теперь попробуйте представить себе, что станет с нашим чемоданом с миллионом долларов при его масштабировании ?

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Масштабирование

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Обсуждение закрыто.

Яндекс.Метрика