Есть ли площадь у треугольника ?

Площадь треугольника

Найдите площадь треугольника ЙУХ, если известно, что ЙУ равна 5, УХ равно 8, а УЙ равен 13; при этом ЙУ направлен с севера на юг, а УХ с запада на восток.

 

      Разберемся с геометрическим понятием площади. Для этого нам потребуется представить себе какую-нибудь фигуру, (круг, треугольник, квадрат, ну или, например, полимино) расположенную на плоскости. Так вот, величина части плоскости, заключенная внутри нашей замкнутой геометрической фигуры будет называться площадью этой фигуры.

      Наиболее частой задачей, встречающейся в геометрии плоских фигур, является задача нахождения численного значения площади. Найдите площадь прямоугольного треугольника? Найдите площадь прямоугольника….. Найдите площадь круга… Найдите площадь ромба …Найдите площадь параллелограмма …

Знакомо?       Не сомневаюсь! Более половины всех геометрических задач по ЕГЭ — это задачи, где требуется вычислить площадь какой-либо геометрической фигуры.

 Для начале давайте определимся с общими свойствами и особенностями площадей всех этих треугольников и параллелограммов.

Свойство № 1. Площадь фигуры измеряются положительными числами.
Свойство №2. Числа, измеряющие площади равных фигур должны быть равны.
Свойство №3. Если данная фигура разбита на несколько частей, то число, измеряющее площадь всей фигуры равна сумме чисел, измеряющих площади образовавшихся частей.
Свойство №4. За единицу измерения площади принимается площадь квадрата со стороной, равной одной единице длины.

Фигуры, которые имеют равные площади, называются равновеликим. Здесь следует отметить, что одинаковые фигуры всегда являются равновеликими, но равновеликие фигуры не всегда одинаковы.

 ravnovelikieКак вы могли заметить, площадь фигуры на  рисунке «а» равна площади фигуры на рисунке «б», но геометрически эти фигуры не равны.

Теперь, когда мы познакомились с общими свойствами площади геометрических фигур, можно приступить к нахождению площадей отдельных многоугольников.

 Давайте узнаем как……

 

Как найти площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его соседних сторон:

S = a · b,

где S – величина площади прямоугольника,
a и b- значения длин его сторон .

 Как найти площадь квадрата.

Здесь всё просто: так как квадрат является частным видом прямоугольника, то для него справедлива формула, приведенная выше. Кроме этого часто встречается вариант вычисления площади квадрата с известной длиной диагонали.

Если известна сторона:
Площадь квадрата равна произведению длин его сторон (сторона в квадрате).

S=a²

Если известна диагональ:
Величина площади квадрата равна произведению длин его диагоналей (диагональ в квадрате), деленному на два.

S=½·d²

где S – величина площади квадрата,
a- значение длины его стороны
d- значение длины диагонали.

 Вообще говоря, зная значение одной из величин (длину стороны или диагональ) вторую легко можно вычислить с помощью теоремы Пифагора.

 Как найти площадь треугольника

Вычисление площади триугольника по известным значениям длины стороны и высоте:
Величина площади триугольника равна половине произведения длины основания (стороны) треугольника на длину проведенной к этому основанию высоты

 S=½·a·h

 Формула площади триугольника по трем известным сторонам:

S=√ p·(p — a)·(p — b)·(p — c)

 Формула для вычисления площади треугольника по двум известным сторонам и углу между ними:
Площадь триугольника равна произведению двух его соседних сторон умноженного на синус угла между ними и деленному на два.

S=(a·b·sinα)/2

здесь S — площадь треугольника,
a, b, c — значения длинн его сторон
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
sinα — синус угла между известными сторонами

Как найти площадь параллелограмма

Формула для нахождения площади параллелограмма по известной  длине стороны и высоте:
Площадь параллелограмма равна произведению основания (сторона) на высоту.

S = a · h

Формула для вычисления площади параллелограмма по двум известным сторонам и углу между ними:
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α

где S – величина площади параллелограмма,
a, b- численные значения длин его сторон ,
h- значение длины высоты параллелограмма,
α- численное значение угла, который образуют стороны параллелограмма.

Как найти площадь ромба

Формула для нахождения площади ромба по известной длине стороны и высоте:
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

 S = a · h

 Формула площади ромба по длине стороны и углу:
Численное значение площади ромба равно произведению длинн его сторон (сторона в квадрате) на синус угла между сторонами ромба.

S = a²· sin α

Формула для вычисления площади ромба по известным длинам его диагоналей:
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

S=(d1·d2)/2

где S – величина площади ромба,
a- численное значение длины стороны ромба,
h- численное значение высоты ромба,
α- величина угла, который образуют стороны ромба,
d1, d2 — численные значения длин его диагоналей.

Как найти площадь трапеции

 Вычисление площади трапеции по известным длинам сторон:

S = (√(p — a)·(p — b)·(p — a — c)·(p — a — d))·(a+b)/(4·|a-b|),

хотя в этой формуле и используется модуль |a-b| для удобства за a обычно принимается большее из оснований.

Формула площади трапеции по известным длинам оснований и высоте:
Площадь трапеции равна произведению суммы ее оснований на высоту, деленную на два

S=½·(a+b)·h

где S – величина площади трапеции,
a, b- численные значения длин основ трапеции,
c, d- численные значения длин боковых сторон трапеции,
h — высота,
p=(a+bb+c+d)/2 — полупериметр

Как найти площадь круга?

 Очень просто!

 Формула для нахождения площади круга с известным радиусом:
Площадь круга равна произведению радиуса в квадрате на число пи.

 S = π· r2

 Формула площади круга (полный аналог первой формулы, т.к D=2R) через диаметр:
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

S=¼·D²·π

где S – величина площади круга,
r- численное значение радиуса круга,
d- численное значение диаметра круга,
π≈3,14.

Здесь я привел только основные формулы для вычисления площадей геометрических фигур. Если вы хотите изучить этот материал более глубоко, то обратите внимание на геометрические формулы площадей  с использованием радиусов окружностей .

 

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

Обсуждение закрыто.

Отдых в Крыму. Аренда жилья на www.more.ua карта крыма Крым, посуточно жилье http://www.more.ua
Яндекс.Метрика